三角函数和差化积公式怎么推导的 三角函数和差化积公式

三角函数和差化积公式怎么推导的在进修三角函数的经过中，我们经常会遇到“和差化积”这一类公式。这些公式能够将三角函数的和或差转化为乘积形式，便于进一步计算与简化。这篇文章小编将拓展资料常见的三角函数和差化积公式的推导经过，并以表格形式展示其内容。

一、和差化积公式的基本想法

和差化积公式是基于三角函数的加法公式进行变形得到的。通过引入角度的和与差，结合正弦、余弦等基本三角函数的性质，可以将两个角的和或差转换为两个角的乘积形式。这类公式在积分、微分、解方程中都有广泛应用。

二、主要和差化积公式及推导经过

1. 正弦的和差化积公式

公式：

$$

\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\fracA+B}2}\right) \cos\left(\fracA-B}2}\right)

$$

$$

\sin A – \sin B = 2 \cos\left(\fracA+B}2}\right) \sin\left(\fracA-B}2}\right)

$$

推导思路：

利用正弦的和角公式：

$$

\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B

$$

$$

\sin(A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B

$$

将两式相加或相减，可得：

– 相加：$\sin(A + B) + \sin(A – B) = 2 \sin A \cos B$

– 相减：$\sin(A + B) – \sin(A – B) = 2 \cos A \sin B$

令 $A + B = X$，$A – B = Y$，则有 $A = \fracX+Y}2}$，$B = \fracX-Y}2}$，代入后即可得到上述公式。

2. 余弦的和差化积公式

公式：

$$

\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\fracA+B}2}\right) \cos\left(\fracA-B}2}\right)

$$

$$

\cos A – \cos B = -2 \sin\left(\fracA+B}2}\right) \sin\left(\fracA-B}2}\right)

$$

推导思路：

同样使用余弦的和角公式：

$$

\cos(A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B

$$

$$

\cos(A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

$$

将两式相加或相减，可得：

– 相加：$\cos(A + B) + \cos(A – B) = 2 \cos A \cos B$

– 相减：$\cos(A + B) – \cos(A – B) = -2 \sin A \sin B$

同样代入变量替换，可得上述公式。

3. 正切的和差化积公式（间接推导）

虽然正切没有直接的和差化积公式，但可以通过正弦和余弦的和差化积公式来间接表达：

$$

\tan A + \tan B = \frac\sin(A + B)}\cos A \cos B}

$$

$$

\tan A – \tan B = \frac\sin(A – B)}\cos A \cos B}

$$

三、拓展资料表格

四、小编归纳一下

和差化积公式是三角函数的重要工具，它不仅在数学分析中有广泛应用，也在物理、工程等领域中频繁出现。掌握其推导技巧有助于领会公式的本质，提升解题能力。建议在进修经过中多做练习，加深对这些公式的领会和记忆。